(1)

Ans.       $\frac{1}{6}\log$$\left|\frac{1+u^3}{1-u^3}\right|$$+C$

Explanation

$\text{The given integral is}$  $\int \frac{u^2}{1-u^6}du$

            $=\int \frac{u^2}{1-{\left(u^3\right)}^2}du$

$\text{Substitute }z\text{ for }{u}^3\text{ and differentiate w.r.t. }u.$

                      $u^3=z$

            $\frac{d}{du}\left(u^3\right)=\frac{dz}{du}$

                    $3u^2=\frac{dz}{du}$

               $3u^{2}du=dz$

$\int \frac{u^2}{1-{\left(u^3\right)}^2}du=\frac{1}{3}\int \frac{dz}{1-z^2}$

                            $=\frac{1}{3}\left[\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\log \right|\frac{{\displaystyle 1+z}}{{\displaystyle 1-z}}\left|\right]+C$

                            $=\frac{1}{3}\left[\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\log \right|\frac{{\displaystyle 1+u^3}}{{\displaystyle 1-u^3}}\left|\right]+C$              $(\because z=u^3)$

                            $=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 6}}\log$$\left|\frac{{\displaystyle 1+u^3}}{{\displaystyle 1-u^3}}\right|$$+C$

(1)

Ans.       $\frac{1}{3}{e}^{x^3}+C$

Explanation :

$\text{Let}$            $I=\int x^2{e}^{x^3} dx$

$\text{Put}$              $x^3=t$

$\Rightarrow$    $3x^{2}dx=dt$

$\Rightarrow$      $x^{2}dx=\frac{1}{3}dt$

$\therefore$               $I=\frac{1}{3}\int e^{t}dt$

$\Rightarrow$              $I=\frac{1}{3}{e}^t+C$

$\Rightarrow$                $I=\frac{1}{3}{e}^{x^3}+C$

(3)

Ans.    $a=\frac{-1}{10},b=\frac{2}{5}$

Explanation :

$\text{Given that,}$

               $\int \frac{dx}{(x+2)(x^2+1)}=a\log$$|1+x^2|$$+b{\tan }^{-1}x+\frac{1}{5}\log$$|x+2|$$+C$

$\text{Now,}$                             $I=\int \frac{dx}{(x+2)(x^2+1)}$

                   $\frac{1}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

$\Rightarrow$          $1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+2)$

$\Rightarrow$          $1=A{x}^2+A+B{x}^2+2Bx+Cx+2C$

$\Rightarrow$          $1=(A+B)x^2+(2B+C)x+A+2C$

$\Rightarrow$  $A+B=0,$  $A+2C=1,$  $2B+C=0$

$\text{We have, }A=\frac{1}{5},$  $B=-\frac{1}{5}$  and  $C=\frac{2}{5}$

$\therefore$  $\int \frac{dx}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+2}+\int \frac{-\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}}{x^2+1}dx$

$=\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+2}-\frac{1}{5}\int \frac{x}{1+x^2}dx+\frac{1}{5}\int \frac{2}{1+x^2}dx$

$=\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+2}-\frac{1}{10}\int \frac{2x}{1+x^2}dx+\frac{2}{5}\int \frac{dx}{1+x^2}$

$=\frac{1}{5}\log$$|x+2|$$-\frac{1}{10}\log$$|1+x^2|$$+\frac{2}{5}{\tan }^{-1}x+C$

$\therefore$       $b=\frac{2}{5}$  and  $a=\frac{-1}{10}$

(1)

Ans.     $e^x\left(\frac{1}{x+4}\right)+C$

Explanation :

Let                $I=\int \frac{x+3}{{(x+4)}^2}{e}^{x}dx$

       $\frac{x+3}{{(x+4)}^2}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{{(x+4)}^2}$

$\Rightarrow$        $x+3=A(x+4)+B$

$\Rightarrow$        $x+3=Ax+(4A+B)$

$\Rightarrow$              $A=1,4A+B=3$

We have,     $A=1,B=-1$

$\therefore$         $I=\int (\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x+4}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle {(x+4)}^2}})e^{x}dx$

               $=\int \frac{e^x}{x+4}dx-\int \frac{e^x}{{(x+4)}^2}dx$

               $=\int e^x(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x+4}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle {(x+4)}^2}})dx$

               $=e^x\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x+4}}\right)+C$                   $[\because \int e^x\{f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)\}dx=e^{x}f(x)+C]$

(4)

Ans.     $\log$$\left|\frac{x}{1-x}\right|$$-\frac{1}{x}+C$

Explanation :

$\int \frac{dx}{x^2-x^3}=\int \frac{1-x+x}{x^2(1-x)}dx$

                    $=\int \frac{(1-x)dx}{x^2(1-x)}+\int \frac{xdx}{x^2(1-x)}$

                    $=\int \frac{1}{x^2}dx+\int \frac{dx}{x(1-x)}$

                    $=-\frac{1}{x}+\int \frac{dx}{x}+\int \frac{dx}{1-x}$

                    $=-\frac{1}{x}+\log$$\left|x\right|$$-\log$$|1-x|$$+C$               $(\because -1<x<1)$

                     $=\log$$\left|\frac{x}{1-x}\right|$$-\frac{1}{x}+C$

                     $=\log \left(\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 1-x}}\right)+C$

(1)

Ans.       $\log x-\log (1-x)+C$

Explanation :

       $\int \frac{dx}{(x-x^2)}=\int (\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 1-x}})dx$

                            $=\log x-\log (1-x)+C$

                            $=\log \left(\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 1-x}}\right)+C$

(3)

Ans.      $\frac{1}{3}{\tan }^{-1}x-\frac{1}{6}{\tan }^{-1}\frac{x}{2}+C$

Explanation :

$\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{1}{3}[\int \frac{{\displaystyle dx}}{{\displaystyle x^2+1}}-\int \frac{{\displaystyle dx}}{{\displaystyle x^2+4}}]$

                                  $=\frac{1}{3}[{\tan }^{-1}x-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{\tan }^{-1}\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2}}]+C$

                                   $=\frac{1}{3}{\tan }^{-1}x-\frac{1}{6}{\tan }^{-1}\frac{x}{2}+C$

(4)

Ans.        $x·\tan \frac{x}{2}+C$

Explanation :

 $I=\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x}dx$

   $=\int \frac{x}{1+\cos x}dx+\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx$

   $=\int \frac{x}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}dx+\int \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}dx$

   $=\frac{1}{2}\int x{\sec }^2\frac{x}{2}dx+\int \tan \frac{x}{2}dx$

   $=\frac{1}{2}[x·\tan \frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2}}·2-\int \tan \frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2}}·2dx]+\int \tan \frac{x}{2}dx$

   $=x·\tan \frac{x}{2}+C$            $\text{[By cancelling the last two integrals]}$

(4)

Ans.       $-e^x\cot x+C$

Explanation :

$\int e^x(1-\cot x+{\cot }^{2}x)dx$

            $=\int e^x(-\cot x+{\mathrm{cosec}}^{2}x)dx$

             $=e^x(-\cot x)+C$                  $[\because \int e^x\{f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)\} dx=e^{x}f(x)+C]$

              $=-e^x\cot x+C$

(3)

Ans.       $x{\log }_e\left(\frac{x}{e}\right)+C$

Explanation:

$\int \frac{1}{{\log }_{x}e}dx=\int {\log }_{e}xdx$

                       $=\int 1·{\log }_{e}xdx$

                        $=x{\log }_{e}x-\int \frac{1}{x}·xdx$

                       $=x{\log }_{e}x-x+C$

                       $=x({\log }_{e}x-{\log }_{e}e)+C$

                       $=x{\log }_e\left(\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle e}}\right)+C$

(1)

Ans.        $e^x{\sin }^{2}x+C$

Explanation :

$\int e^x\sin x(\sin x+2\cos x)dx$

$=\int e^x{\sin }^{2}xdx+\int e^x 2\sin x\cos x dx$

$=\int e^x{\sin }^{2}xdx+\int e^x\sin 2xdx$

$=e^x{\sin }^{2}x-\int e^x 2\sin x\cos xdx+\int e^x\sin 2xdx+C$

$=e^x{\sin }^{2}x-\int e^x\sin 2xdx+\int e^x\sin 2xdx+C$

$=e^x{\sin }^{2}x+C$

(4)

Ans.         $x{\sin }^{-1}x+{(1-x^2)}^{\frac{1}{2}}+C$

Explanation :

Let, the given integral be

                 $I=\int 1.{\sin }^{-1}xdx$

Integrating by parts,

        $I={\sin }^{-1}x\int 1.dx-\int \left\{\right(\frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle dx}}{\sin }^{-1}x)\int 1.dx\}dx$

         $={\sin }^{-1}x·x-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.xdx$

Substitute  $1-x^2=t$  in the given integral and differentiate it.

             $\frac{d}{dx}(1-x^2)=\frac{dt}{dx}$

                          $-2x=\frac{dt}{dx}$

                           $xdx=-\frac{1}{2}dt$

                                    $=x{\sin }^{-1}x-\int -\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\frac{ dt}{\sqrt{t}}$

                                     $=x{\sin }^{-1}x+\frac{1}{2}{t}^{\frac{1}{2}}\times \left(2\right)+C$

                                     $=x{\sin }^{-1}x+{(1-x^2)}^{\frac{1}{2}}+C$             $(\because t=1-x^2)$

(2)

Ans.     $\frac{1}{3}{x}^3{\sin }^{-1}x+\frac{1}{3}\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{9}{(1-x^2)}^{3/2}+C$

Explanation:

The given integral is

               $I=\int x^2.{\sin }^{-1}xdx$

Integrating by parts, taking ${\sin }^{-1}x$ as the first function, we get

               $I=\int x^2.{\sin }^{-1}xdx$

                 $={\sin }^{-1}x·\frac{x^3}{3}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}·\frac{x^3}{3}dx$

                  $={\sin }^{-1}x·\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx$

                 $=\frac{x^3}{3}.{\sin }^{-1}x-\frac{1}{3}\int \frac{x.x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Substituting $t^2$ for $1-x^2$ and differentiate w.r.t. $x$.

                   $\frac{d}{dx}(1-x^2)=\frac{d}{dx}\left(t^2\right)$

$\Rightarrow$                          $-2x=2t\frac{dt}{dx}$

$\Rightarrow$                           $xdx=-tdt$

Substitute the values, $1-x^2=t^2$ and $xdx=-tdt$ in the integral.

$\therefore$   $I=\frac{x^3}{3}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{3}\int \frac{(-t)(1-t^2)}{t}dt$

           $=\frac{x^3}{3}{\sin }^{-1}x+\frac{1}{3}\int 1dt-\frac{1}{3}\int t^{2}dt$

          $=\frac{x^3}{3}{\sin }^{-1}x+\frac{t}{3}-\frac{t^3}{9}+C$

          $=\frac{1}{3}{x}^3{\sin }^{-1}x+\frac{1}{3}\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{9}{(1-x^2)}^{3/2}+C$

(3)

Ans.      $e^x\cos x+C$

Explanation :

The given integral is,

                         $I=\int e^x(\cos x-\sin x)dx$

Let,             $f\left(x\right)=\cos x$

Differentiating $f\left(x\right)$,

                      $f\text{'}\left(x\right)=-\sin x$

Substitute $f\left(x\right)$ for $\cos x$ and $f\text{'}\left(x\right)$ for $-\sin x$ in the given integral.

                             $I=\int e^x(\cos x-\sin x)dx$

                              $=\int e^x\left\{f\right(x)+f\text{'}(x\left)\right\}dx$
 

We know that

$\int e^x\left\{f\right(x)+f\text{'}(x\left)\right\}dx=e^{x}f\left(x\right)+C$

$\therefore$                                $I=e^x\cos x+C$

(1)

Ans.        $e^x\frac{1}{x^4}+C$

Explanation :

The given integral is,

                        $I=\int e^x(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x^4}}-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x^5}})dx$

Let,            $f\left(x\right)=\frac{1}{x^4}$

Differentiating $f\left(x\right)$,

                     $f\text{'}\left(x\right)=-\frac{4}{x^5}$

Substituting $f\left(x\right)$ for $\frac{1}{x^4}$ and $f\text{'}\left(x\right)$ for $-\frac{4}{x^5}$ in the given integral, we get

                          $I=\int e^x(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x^4}}-\frac{{\displaystyle -4}}{{\displaystyle x^5}})dx$

                            $=\int e^x\left\{f\right(x)+f\text{'}(x\left)\right\}dx$

We know that

      $\int e^x\left\{f\right(x)+f\text{'}(x\left)\right\}dx=e^{x}f\left(x\right)+C$

  $\therefore$                                $I=e^x\frac{1}{x^4}+C$

(3)

Ans.        $\frac{e^2}{2}-e$

Explanation :

${\int }_1^2{e}^x(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x^2}})dx={\int }_1^2\frac{e^x}{x}dx-{\int }_1^2\frac{e^x}{x^2}dx$

                                    $=\left[\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}{\int }_1^2{e}^{x}dx\right]-{\int }_1^2(\frac{{\displaystyle -1}}{{\displaystyle x^2}}\int e^{x}dx)dx-{\int }_1^2\frac{1}{x^2}{e}^{x}dx$

                                    $={\left[\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}{e}^x\right]}_1^2+{\int }_1^2\frac{e^x}{x^2}dx-{\int }_1^2\frac{e^x}{x^2}dx$                  $[\because \int e^x\{f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)\} dx=e^{x}f(x)+C]$

                                    $={\left[\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}{e}^x\right]}_1^2=\frac{e^2}{2}-e$

(2)

Ans.          $\frac{1}{15}\log$$\left|\frac{x^5}{x^5+3}\right|$$+C$

Explanation:

$\text{Let}$       $I=\int \frac{dx}{x(x^5+3)}$

Multiply by $x^4$ in numerator and denominator, we get,

                   $I=\int \frac{x^4}{x^5(x^5+3)}dx$

$\text{Let}$        $x^5=t$

             $5x^{4}dx=dt$

                        $I=\int \frac{1}{5t(t+3)}dt$

                          $=\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}\int \frac{t+3-t}{t(t+3)}dt$

                          $=\frac{1}{15}[\int \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle t}}dt-\int \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle t+3}}dt]$

                          $=\frac{1}{15}[\log t-\log (t+3\left)\right]$

                        $I=\frac{1}{15}\log$$\left|\frac{x^5}{x^5+3}\right|$$+C$

(4)

Ans.       $q\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x$

Explanation :

     $\int \frac{x^3}{x+1}dx=\int \frac{x^3+1-1}{x+1}dx$

                           $=\int \frac{x^3+1}{x+1}dx-\int \frac{1}{x+1}dx$

                            $=\int (x^2+1-x)dx-\log (x+1)$

                            $=\frac{x^3}{3}+x-\frac{x^2}{2}-\log$$|x+1|$$+C$

$\text{So}$         $q\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x$

(3)

Ans.      A-III, B-I, C-IV, D-II

Explanation :

 $\int \frac{e^{\log \sqrt{x}}}{x}dx=\int \frac{\sqrt{x}}{x}dx=\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C$

$\int \frac{1}{x+\sqrt{x}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}dx$

                         $=\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{x}+1}dx$

                         $=2\sqrt{x}-\log (\sqrt{x}+1)+C$

(1)

Ans.       $\sec x-\tan x+x-C$

Explanation :

 $I=\int (\tan x·\sec x-{\tan }^{2}x)dx$

   $=\int \tan x·\sec xdx-\int {\tan }^{2}xdx$

    $=\sec x+x-\tan x+C$

(2)

Ans.       $\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x}+2x+c$

Explanation :

$\text{Let}$       $I=\int {(x+\frac{1}{x})}^{2}dx$

                     $=\int (x^2+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x^2}}+2)dx$