(1)

Ans.       $\frac{1}{6}\log$$\left|\frac{1+u^3}{1-u^3}\right|$$+C$

Explanation

$\text{The given integral is}$  $\int \frac{u^2}{1-u^6}du$

            $=\int \frac{u^2}{1-{\left(u^3\right)}^2}du$

$\text{Substitute }z\text{ for }{u}^3\text{ and differentiate w.r.t. }u.$

                      $u^3=z$

            $\frac{d}{du}\left(u^3\right)=\frac{dz}{du}$

                    $3u^2=\frac{dz}{du}$

               $3u^{2}du=dz$

$\int \frac{u^2}{1-{\left(u^3\right)}^2}du=\frac{1}{3}\int \frac{dz}{1-z^2}$

                            $=\frac{1}{3}\left[\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\log \right|\frac{{\displaystyle 1+z}}{{\displaystyle 1-z}}\left|\right]+C$

                            $=\frac{1}{3}\left[\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\log \right|\frac{{\displaystyle 1+u^3}}{{\displaystyle 1-u^3}}\left|\right]+C$              $(\because z=u^3)$

                            $=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 6}}\log$$\left|\frac{{\displaystyle 1+u^3}}{{\displaystyle 1-u^3}}\right|$$+C$

(1)

Ans.       $\frac{1}{3}{e}^{x^3}+C$

Explanation :

$\text{Let}$            $I=\int x^2{e}^{x^3} dx$

$\text{Put}$              $x^3=t$

$\Rightarrow$    $3x^{2}dx=dt$

$\Rightarrow$      $x^{2}dx=\frac{1}{3}dt$

$\therefore$               $I=\frac{1}{3}\int e^{t}dt$

$\Rightarrow$              $I=\frac{1}{3}{e}^t+C$

$\Rightarrow$                $I=\frac{1}{3}{e}^{x^3}+C$

(3)

Ans.    $a=\frac{-1}{10},b=\frac{2}{5}$

Explanation :

$\text{Given that,}$

               $\int \frac{dx}{(x+2)(x^2+1)}=a\log$$|1+x^2|$$+b{\tan }^{-1}x+\frac{1}{5}\log$$|x+2|$$+C$

$\text{Now,}$                             $I=\int \frac{dx}{(x+2)(x^2+1)}$

                   $\frac{1}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

$\Rightarrow$          $1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+2)$

$\Rightarrow$          $1=A{x}^2+A+B{x}^2+2Bx+Cx+2C$

$\Rightarrow$          $1=(A+B)x^2+(2B+C)x+A+2C$

$\Rightarrow$  $A+B=0,$  $A+2C=1,$  $2B+C=0$

$\text{We have, }A=\frac{1}{5},$  $B=-\frac{1}{5}$  and  $C=\frac{2}{5}$

$\therefore$  $\int \frac{dx}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+2}+\int \frac{-\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}}{x^2+1}dx$

$=\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+2}-\frac{1}{5}\int \frac{x}{1+x^2}dx+\frac{1}{5}\int \frac{2}{1+x^2}dx$

$=\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+2}-\frac{1}{10}\int \frac{2x}{1+x^2}dx+\frac{2}{5}\int \frac{dx}{1+x^2}$

$=\frac{1}{5}\log$$|x+2|$$-\frac{1}{10}\log$$|1+x^2|$$+\frac{2}{5}{\tan }^{-1}x+C$

$\therefore$       $b=\frac{2}{5}$  and  $a=\frac{-1}{10}$

(1)

Ans.     $e^x\left(\frac{1}{x+4}\right)+C$

Explanation :

Let                $I=\int \frac{x+3}{{(x+4)}^2}{e}^{x}dx$

       $\frac{x+3}{{(x+4)}^2}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{{(x+4)}^2}$

$\Rightarrow$        $x+3=A(x+4)+B$

$\Rightarrow$        $x+3=Ax+(4A+B)$

$\Rightarrow$              $A=1,4A+B=3$

We have,     $A=1,B=-1$

$\therefore$         $I=\int (\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x+4}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle {(x+4)}^2}})e^{x}dx$

               $=\int \frac{e^x}{x+4}dx-\int \frac{e^x}{{(x+4)}^2}dx$

               $=\int e^x(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x+4}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle {(x+4)}^2}})dx$

               $=e^x\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x+4}}\right)+C$                   $[\because \int e^x\{f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)\}dx=e^{x}f(x)+C]$

(4)

Ans.     $\log$$\left|\frac{x}{1-x}\right|$$-\frac{1}{x}+C$

Explanation :

$\int \frac{dx}{x^2-x^3}=\int \frac{1-x+x}{x^2(1-x)}dx$

                    $=\int \frac{(1-x)dx}{x^2(1-x)}+\int \frac{xdx}{x^2(1-x)}$

                    $=\int \frac{1}{x^2}dx+\int \frac{dx}{x(1-x)}$

                    $=-\frac{1}{x}+\int \frac{dx}{x}+\int \frac{dx}{1-x}$

                    $=-\frac{1}{x}+\log$$\left|x\right|$$-\log$$|1-x|$$+C$               $(\because -1<x<1)$

                     $=\log$$\left|\frac{x}{1-x}\right|$$-\frac{1}{x}+C$

                     $=\log \left(\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 1-x}}\right)+C$

(1)

Ans.       $\log x-\log (1-x)+C$

Explanation :

       $\int \frac{dx}{(x-x^2)}=\int (\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 1-x}})dx$

                            $=\log x-\log (1-x)+C$

                            $=\log \left(\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 1-x}}\right)+C$

(3)

Ans.      $\frac{1}{3}{\tan }^{-1}x-\frac{1}{6}{\tan }^{-1}\frac{x}{2}+C$

Explanation :

$\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{1}{3}[\int \frac{{\displaystyle dx}}{{\displaystyle x^2+1}}-\int \frac{{\displaystyle dx}}{{\displaystyle x^2+4}}]$

                                  $=\frac{1}{3}[{\tan }^{-1}x-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{\tan }^{-1}\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2}}]+C$

                                   $=\frac{1}{3}{\tan }^{-1}x-\frac{1}{6}{\tan }^{-1}\frac{x}{2}+C$

(4)

Ans.        $x·\tan \frac{x}{2}+C$

Explanation :

 $I=\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x}dx$

   $=\int \frac{x}{1+\cos x}dx+\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx$

   $=\int \frac{x}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}dx+\int \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}dx$

   $=\frac{1}{2}\int x{\sec }^2\frac{x}{2}dx+\int \tan \frac{x}{2}dx$

   $=\frac{1}{2}[x·\tan \frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2}}·2-\int \tan \frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2}}·2dx]+\int \tan \frac{x}{2}dx$

   $=x·\tan \frac{x}{2}+C$            $\text{[By cancelling the last two integrals]}$

(4)

Ans.       $-e^x\cot x+C$

Explanation :

$\int e^x(1-\cot x+{\cot }^{2}x)dx$

            $=\int e^x(-\cot x+{\mathrm{cosec}}^{2}x)dx$

             $=e^x(-\cot x)+C$                  $[\because \int e^x\{f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)\} dx=e^{x}f(x)+C]$

              $=-e^x\cot x+C$