(D)

Since, $2,p$ and $q$ are in G.P.

$\therefore$     $p^2=2q$                                                              ...(i)

Let first term of the A.P. be $a$ and common difference be $d.$

$\therefore$    $T_7=a+6d=2$                                               ...(ii)

$T_8=a+7d=p$                                                         ...(iii)

and $T_{13}=a+12d=q$                                            ...(iv)

$\therefore$      From (ii) and (iii), we get $d=p-2$

From (ii) and (iv), we get $6d=q-2\Rightarrow 6(p-2)=q-2$

$\Rightarrow 6p=q+10$                                                             ...(v)

From (i) and (v), we get $p=2$ or $p=10$     $\therefore$  $q=2$ or 50

But $q\ne 2$

Hence, $p=10, q=50$    $\therefore$   $d=8$ and $a=-46$

Since, 5th term of G.P. $={\mathrm{n}}^{\mathrm{th}}$ term of A.P.

$\therefore$     $2{\left(\frac{10}{2}\right)}^4=-46+(n-1)8$

$\Rightarrow 1250=-46+8n-8\Rightarrow 8n=1304\Rightarrow n=163$

(D)

Let the G.P. be $\frac{a}{r^3},\frac{a}{r^2},\frac{a}{r},a,ar,a{r}^2,a{r}^3,a{r}^4$

Now, $\frac{a}{r^2}+a{r}^2=\frac{70}{3}$                                                              ...(i)

and $\frac{a}{r}\times ar=49\Rightarrow a^2=49\Rightarrow a=7$        (G.P. is increasing)

Now, $\frac{7}{r^2}+7r^2=\frac{70}{3}$                    [Using (i)]

$\Rightarrow 3r^4-10r^2+3=0$

$\Rightarrow (3r^2-1)(r^2-3)=0\Rightarrow r^2=\frac{1}{3} \text{or} r^2=3$

As the G.P. is increasing,  $\therefore$  $r^2=3\Rightarrow r=\sqrt{3}$

Now, $a+a{r}^2+a{r}^4=7+7\left(3\right)+7\left(9\right)=91$

(C)

Given, $\sum _{n=0}^{\infty }a{r}^n=57$

$\Rightarrow \frac{a}{1-r}=57$                                                      ...(i)

                                                         [Sum of infinite G.P.]

Also, $\sum _{n=0}^{\infty }{a}^3{r}^{3n}=9747$

i.e., $a^3+a^3{r}^3+\dots \infty =9747$

$\Rightarrow \frac{a^3}{1-r^3}=9747\Rightarrow \frac{(57{(1-r))}^3}{1-r^3}=9747$

$\frac{(1-r)(1+r+r^2)}{{(1-r)}^3}=19\Rightarrow 19{(1-r)}^2=1+r+r^2$

$\Rightarrow 19+19r^2-38r=1+r+r^2$

$\Rightarrow 18r^2-39r+18=0$

$\Rightarrow r=\frac{2}{3},\frac{3}{2}\Rightarrow r=\frac{2}{3}$                $[\because |r|<1]$

$\therefore$      $a=57(1-\frac{2}{3})\Rightarrow a=19$

So, $a+18r=19+12=31$

(D)

Given that 3, $a,b,c,$ are in A.P.

So, $a-3=b-a$

$\Rightarrow 2a=b+3$                                                   ...(i)

and $b-a=c-b$

$\Rightarrow 2b=a+c$                                                     ...(ii)

Also, given that 3, $a-1,b+1,c+9$ are in G.P.

So, $\frac{a-1}{3}=\frac{b+1}{a-1}$

$\Rightarrow {(a-1)}^2=3b+3\Rightarrow a^2-2a+1=3b+3$

$\Rightarrow a^2-2a=3(2a-3)+2$                                     (Using (i))

$\Rightarrow a^2-8a+7=0\Rightarrow a^2-7a-a+7=0$

$\Rightarrow a(a-7)-1(a-7)=0$

$\Rightarrow (a-1)(a-7)=0\Rightarrow a=1,7$

By (i), $b=-1$ and $b=11$

Since, $b$ cannot be negative.

By (ii), $c=15$

$\therefore$    A.M. of $a,b,c=\frac{a+b+c}{3}=\frac{15+11+7}{3}=\frac{33}{3}=11$

(D)

We have, 

$\alpha +\beta =-\frac{q}{p}$               ...(i) and                 $\alpha \beta =-\frac{r}{p}$               ...(ii)

Now, $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{q}{r}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{r}{q}=\frac{4}{3}$

$\because$   $p,q$ and $r$ are in G.P    $\therefore$   $\frac{q}{p}=\frac{r}{q}=\frac{4}{3}$

So, $\alpha +\beta =-\frac{4}{3}$ and $\alpha \beta =-{\left(\frac{r}{q}\right)}^2=-\frac{16}{9}$

Now, ${(\alpha -\beta )}^2={(\alpha +\beta )}^2-4\alpha \beta =\frac{16}{9}+\frac{64}{9}=\frac{80}{9}$

(D)

Sum of 64 terms = 7 $\times$ Sum of odd terms

$\Rightarrow a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{63}=7(a+a{r}^2+a{r}^4+\cdots +a{r}^{62})$

$\Rightarrow 1+r+r^2+\cdots +r^{63}=7(1+r^2+r^4+\cdots +r^{62})$

$\Rightarrow \frac{1(1-r^{64})}{1-r}=\frac{7\times (1-{\left(r^2\right)}^{32})}{1-r^2}\Rightarrow \frac{1-r^{64}}{(1-r)}=\frac{7\times (1-r^{64})}{(1-r)(1+r)}$

$\Rightarrow 1+r=7\Rightarrow r=6$

(A)

Let $r$ be the common ratio.

Now, $a_n=\text{A.M. of }{a}_{n+1}\text{ and }{a}_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_{n+2}}{2}$

$\Rightarrow a_1·r^{n-1}=\frac{1}{2}[a_1·r^n+a_1·r^{n+1}]\Rightarrow 2r^{n-1}=r^n+r^{n+1}$

$\Rightarrow 2=r+r^2\Rightarrow r^2+r-2=0\Rightarrow (r+2)(r-1)=0$

$\Rightarrow r=-2 (\because r\ne 1\text{as }{a}_1\ne a_2)$

Now, $S_{20}-S_{18}=a_{19}+a_{20} (\because S_n=a_1+a_2+\dots +a_n)$

$=\frac{1}{8}·r^{18}+\frac{1}{8}·r^{19}=\frac{1}{8}{(-2)}^{18}[1-2]=\frac{-2^{18}}{2^3}=-2^{15}$

(A)

Given, $T_1=a,T_3=a{r}_1^2=b$

$\Rightarrow r_1={\left(\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle a}}\right)}^{1/2}$                                   ...(i)

Also, $T_1=a,T_5=b$

$\Rightarrow a{r}_2^4=b\Rightarrow r_2={\left(\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle a}}\right)}^{1/4}$                 ...(ii)

And ${11}^{th}$ term of first GP = $p^{th}$ term of second GP

Now, $a{r}_1^{10}=a{r}_2^{p-1}$

$\Rightarrow a{\left(\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle a}}\right)}^5=$$a$${\left\{{\left(\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle a}}\right)}^{1/4}\right\}}^{p-1}$                  (Using (i) and (ii))

$\Rightarrow {\left(\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle a}}\right)}^5={\left(\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle a}}\right)}^{\frac{p-1}{4}}\Rightarrow 5=\frac{p-1}{4}\Rightarrow p-1=20\Rightarrow p=21$

(B)

We have, $(a+b-2c)x^2+(b+c-2a)x+(c+a-2b)=0$

Put $x=1$

       $a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b=0$

       $0=0$

$\therefore$    $x=1$ is another root

$\therefore$    $\alpha ·1=\frac{c+a-2b}{a+b-2c} \Rightarrow \alpha =\frac{c+a-2b}{a+b-2c}$

If $-1<\alpha <0,$ then $-1<\frac{c+a-2b}{a+b-2c}<0$

$\Rightarrow 0<\frac{c+a-2b+a+b-2c}{a+b-2c}<1\Rightarrow 0<\frac{2a-b-c}{a+b-2c}<1$

Since, $a>b>c>0\Rightarrow a+b>c+c$

$\Rightarrow a+b>2c\Rightarrow a+b-2c>0$

$\therefore$    $2a-b-c>0\Rightarrow 2a>b+c\Rightarrow a>\frac{b+c}{2}$

$\therefore$   $b$ can not be the geometric mean of $a$ and $c$

If $0<\alpha <1,$ then $0<\frac{c+a-2b}{a+b-2c}<1$

$\Rightarrow 0<c+a-2b \text{and} c+a-2b<a+b-2c$

$\Rightarrow c<b$

       $2b<c+a, b<\frac{c+a}{2}$

$\therefore$ $b$ may be the geometric mean of $a$ and $c.$

(C)

We have, first term of an A.P. =1.

Let the $1^{\mathrm{st}}$, $2^{\mathrm{nd}}$ and $3^{\mathrm{rd}}$ terms of a G.P. are $\frac{a}{r},a,ar$ respectively.

Now, $T_2=\frac{a}{r}\Rightarrow 1+(2-1)d=\frac{a}{r}\Rightarrow 1+d=\frac{a}{r}$                ...(i)

$T_8=a\Rightarrow 1+7d=a$                                                                     ...(ii)

$T_{44}=ar\Rightarrow 1+43d=ar$                                                             ...(iii)

Using equations (i) and (ii), we get

$\frac{1+d}{1+7d}=\frac{1}{r}$                                                                                      ...(iv)

From (ii) and (iii), we get

$\frac{1+7d}{1+43d}=\frac{1}{r}$                                                                                   ...(v)

$\therefore$     $\frac{1+d}{1+7d}=\frac{1+7d}{1+43d}$

$\Rightarrow 1+43d+d+43d^2=1+14d+49d^2$

$\Rightarrow 6d^2-30d=0\Rightarrow 6d(d-5)=0\Rightarrow d=0,d=5$

$\therefore d=5 (\because d\ne 0)$

$\therefore S_{20}=\frac{20}{2}[2+19\times 5]=10[2+95]=970$