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Solution


Q.

Let R be a relation on Z×Z defined by (a, b) R (c, d) if and only if ad-bc is divisible by 5. Then R is              [2024]
1 Reflexive but neither symmetric nor transitive  
2 Reflexive, symmetric and transitive  
3 Reflexive and transitive but not symmetric  
4 Reflexive and symmetric but not transitive  

Ans.

(4)

   Reflexive: For (a,b)R(a,b)

   ⇒ab-ab=0 is divisible by 5.

   So,(a,b)R(a,b)   ∀ a,b∈Z

   ∴    R is reflexive.

   Symmetric : For (a,b)R(c,d), if ad-bc is divisible by 5.

   Then, bc-ad is also divisible by 5.

   So,(c,d)R(a,b) ∀ a,b,c,d∈Z

  ∴ R is symmetric.

   Transitive : For (a,b)R(c,d)⇒ad-bc is divisible by 5 and (c,d)R(e,f)⇒cf-de is divisible by 5

   Let ad-bc=5 k1 and cf-de=5 k2, where k1 and k2 are integers.

   ∴ adf-bcf=5k1f                                     ...(i)

   and cfb-deb=5k2b                                ...(ii)

   Solving (i) and (ii), we get

   adf-bcf+cfb-deb=5k1f+5k2b

   ⇒adf-deb=5(k1f+k2b)⇒d(af-be)=5(k1f+k2b)

   af-be is not divisible by 5 for ∀ a,b,c,d,e,f∈Z

  So, R is not transitive.

   ∴ R is Reflexive and symmetric but not transitive.