Q 11 :    

The number of functions $f:\{1,2,3,4\}\to \{a\in :Z|a|\le 8\}$ satisfying $f\left(n\right)+\frac{1}{n}f(n+1)=1, \forall n\in \{1,2,3\}$ is                [2023]

• 2

   

• 1

   

• 4

   

• 3

   

Q 12 :    

Let $f\left(x\right)=2x^n+\lambda ,\lambda \in \mathit{R},n\in \mathit{N}, and f\left(4\right)=133,f\left(5\right)=255.$ Then the sum of all the positive integer divisors of $\left(f\right(3)-f(2\left)\right)$ is        [2023]

• 59

   

• 60

   

• 61

   

• 58

   

Q 13 :    

Let $f:R\to R$ be a function defined by $f\left(x\right)={\log }_{\sqrt{m}}\left\{\sqrt{2}\right(\sin x-\cos x)+m-2\},$ for some $m$, such that the range of $f$ is [0, 2]. Then the value of $m$ is         [2023]

• 3 

   

• 5 

   

• 4

   

• 2

   

Q 14 :    

Let $f:\mathit{R}\to \mathit{R}$ be a function such that $f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}.$ Then               [2023]

•  $f\left(x\right)$ is many-one in $(-\infty ,-1)$

   

• $f\left(x\right)$ is one-one in $(-\infty ,\infty )$

   

•  $f\left(x\right)$ is many-one in $(1,\infty )$

   

•  $f\left(x\right)$ is one-one in $[1,\infty )$ but not in $(-\infty ,\infty )$

   

Q 15 :    

The domain of $f\left(x\right)=\frac{{\log }_{(x+1)}(x-2)}{e^{2{\log }_{e}x}-(2x+3)},x\in \mathrm{ℝ}$ is                  [2023]

• $(2,\infty )-\left\{3\right\}$ 

   

• $\mathrm{ℝ}-\left\{3\right\}$

   

• $\mathrm{ℝ}-\{-1,3\}$

   

• $(-1,\infty )-\left\{3\right\}$

   

Q 16 :    

Consider a function $f:\mathrm{\mathbb{N}}\to \mathrm{ℝ},$ satisfying $f\left(1\right)+2f\left(2\right)+3f\left(3\right)+...+xf\left(x\right)=x(x+1)f\left(x\right);x\ge 2$ with $f\left(1\right)=1.$ Then $\frac{1}{f\left(2022\right)}+\frac{1}{f\left(2028\right)}$ is equal to         [2023]

• 8400 

   

• 8200 

   

• 8100 

   

• 8000

   

Q 17 :    

The range of the function $f\left(x\right)=\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}$ is                   [2023]

• $[2\sqrt{2},\sqrt{11}]$ 

   

• $[\sqrt{5},\sqrt{10}]$

   

• $[\sqrt{5},\sqrt{13}]$

   

• $[\sqrt{2},\sqrt{7}]$

   

Q 18 :    

If the domain of the function $f\left(x\right)=\frac{\left[x\right]}{1+x^2},$ where [x] is greatest integer $\le x,$ is [2,6), then its range is          [2023]

• $(\frac{5}{37},\frac{2}{5}]$

   

• $(\frac{5}{26},\frac{2}{5}]-\{\frac{9}{29},\frac{27}{109},\frac{18}{89},\frac{9}{53}\}$

   

• $(\frac{5}{26},\frac{2}{5}]$

   

• $(\frac{5}{37},\frac{2}{5}]-\{\frac{9}{29},\frac{27}{109},\frac{18}{89},\frac{9}{53}\}$

   

Q 19 :    

Let $f:\mathit{R}-\{2,6\}\to \mathit{R}$ be real valued function defined as $f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+1}{x^2-8x+12}.$ Then range of $f$ is               [2023]

• $(-\infty ,-\frac{21}{4}]\cup [\frac{21}{4},\infty )$

   

• $(-\infty ,-\frac{21}{4}]\cup [0,\infty )$

   

• $(-\infty ,-\frac{21}{4})\cup (0,\infty )$

   

• $(-\infty ,-\frac{21}{4}]\cup [1,\infty )$

   

Q 20 :    

If domain of the function

${\log }_e\left(\frac{6x^2+5x+1}{2x-1}\right)+{\cos }^{-1}\left(\frac{2x^2-3x+4}{3x-5}\right)$ is $(\alpha ,\beta )\cup (\gamma ,\delta ],$ then 18$({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2+{\delta }^2)$ is equal to ____________.           [2023]