(8)            De-Broglie's wavelength ($\lambda$) is related to mass (m) and velocity v of electron by:

                $\lambda =\frac{h}{mv}-I,$ where $h$ is Planck's constant.

               By quantization of angular momentum:

               $mvr=\frac{nh}{2\pi }-\mathrm{II}$

               Where $n$ is orbit number and $r$ is radius of $n^{th}$ orbit.

               Rearranging equation II

               $2\pi r=n\frac{h}{mv}-\mathrm{III}$

               From I and III

                $2\pi r=n\lambda -\mathrm{IV}$

               Radius ($r$) of $n^{th}$ orbit is related to radius of first orbit ($a_0$) as:

               $r=a_0\frac{n^2}{Z}-V$

               From IV and V:

               $2\pi a_0\frac{n^2}{Z}=n\lambda$

               $\lambda =2\pi a_0\frac{n}{Z}$

               Taking atom to be H, Z = 1 and for fourth orbit, n = 4

                $\lambda =2\pi a_0\frac{4}{1}=8\pi a_0$

(656)          Velocity ($v$) of electron in $n^{th}$ orbit of single electron specie with atomic number Z is given by:

                   $v=2.18\times {10}^6\frac{Z}{n}m/s$                                      ...(i)

                   Radius ($r$) of $n^{th}$ orbit of single electron specie with atomic number Z is given by:

                   $r=0.529\times {10}^{-10}\frac{n^2}{Z}m\hspace{1em}$                              ...(ii)

                  Circumference of $n^{th}$ orbit is integral multiple of wavelength ($\lambda$) of electron i.e.

                   $2\pi r=n\lambda$

                   $\lambda =\frac{2\pi r}{n}$                                                              ...(iii)

                  Frequency (v) is related to velocity (v) and wavelength ($\lambda$) by:

                  $\nu =\frac{v}{\lambda }$                                                                   ...(iv)

                   Put $\lambda$ from (iii) in (iv)

                   $\nu =\frac{v}{2\pi r/n}$                                                       ...(v)

                  Put $v$ and $r$ from (i) and (ii) in (iv)

                  $\nu =\frac{2.18\times {10}^6\frac{Z}{n}}{(2\pi \times 0.529\times {10}^{-10}\frac{n^2}{Z})/n}=\frac{2.18\times {10}^{16}{Z}^2}{2\pi \times 0.529n^2}$

                  For H, Z = 1 and for first orbit n = 1

                  $\nu =\frac{2.18\times {10}^{16}\times {\left(1\right)}^2}{2\pi \times 0.529\times {\left(1\right)}^2}=656\times {10}^{13}\mathrm{Hz}$

(58)            $\Delta x\times m\Delta v\ge \frac{h}{4\pi }$

                  $\Delta x={10}^{-15}m$

                  Substituting other values:

                   ${10}^{-15}\times 9.1\times {10}^{-31}\times \Delta v\ge \frac{6.626\times {10}^{-34}}{4\times 3.14}$

                    $\Delta v\ge 58\times {10}^{9}m/\mathrm{s}$