(D)    $PV=nRT\Rightarrow P=\frac{nRT}{V}$

          Also, $P{V}^{\gamma }=$ constant

         $\frac{nRT}{V}{V}^{\gamma }=$ constant $\Rightarrow T{V}^{\gamma -1}=$ constant

          $T{V}^{\gamma -1}=T_2·{\left(2V\right)}^{\gamma -1}$

           $T_2=T·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/2}=\frac{T}{\sqrt{2}}$

            $W=\frac{nR(T_1-T_2)}{\gamma -1}=2nR(T-\frac{T}{\sqrt{2}})=RT(2-\sqrt{2})$

(A)   $P=T^3\Rightarrow P{T}^{-3}=$ constant

        $\because$ $\frac{PV}{T}=nR=$ constant from ideal gas equation $\Rightarrow T=\frac{PV}{nR}$

         $P{\left(\frac{PV}{nR}\right)}^{-3}=$ constant $\Rightarrow P^{-2}{V}^{-3}=$constant

        $\Rightarrow P{V}^{3/2}=$ constant                                   ... (1)

         $\therefore$ Process equation for adiabatic process is 

          $P{V}^{\gamma }=$ constant                                           ... (2)

         Comparing equation (1) and (2)

         $\Rightarrow \frac{C_P}{C_V}=\gamma =\frac{3}{2}$

(B)   Given : $∆Q=48$ $J$

         $1^{st}$ law of thermodynamics, $∆Q=∆U+∆W$

          $\Rightarrow 48=n{C}_v∆T+∆W$

           $\Rightarrow 48=\left(1\right)\left(\frac{3R}{2}\right)\left(2\right)+∆W$

           $\Rightarrow ∆W=48-3\times R$

           $\Rightarrow ∆W=48-3\times (8.3)$       

             $\Rightarrow ∆W=23.1$ $J$

(D)   $W=100$ $J$

        $∆Q=n{C}_p∆T=n\left(\frac{7R}{2}\right)∆T=\frac{7}{2}nR∆T$

        $PV=nRT\Rightarrow P∆V=nR∆T=$ work done (W)

        $∆Q=\frac{7}{2}nR∆T=\frac{7}{2}W$

         $∆Q=\frac{7}{2}\times 100=350$ $J$

(C)   For adiabatic process, $P{V}^{\gamma }=k$

         $P_1{V}_1^{3/2}=P_2{V}_2^{3/2}$

          $P_1\times {\left(5\right)}^{3/2}=P_2\times {\left(4\right)}^{3/2}$

          $\frac{P_1}{P_2}={\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}=\frac{{\left(2\right)}^3}{{\left(125\right)}^{1/2}}=\frac{8}{5\sqrt{5}}$

(A)     WD by gas in adiabatic process

           $W=\frac{P_2{V}_2-P_1{V}_1}{1-\gamma }=\frac{nR[T_2-T_1]}{1-\gamma }$

           $T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}$

            $T\times {\left(V\right)}^{1/2}=T_2\times {\left(2V\right)}^{1/2}\Rightarrow T_2=\frac{T}{\sqrt{2}}$

             $W=\frac{R[{\displaystyle \frac{T}{\sqrt{2}}}-T]}{1-{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{2R}{\sqrt{2}}[\sqrt{2}T-T]$

              $\Rightarrow W=RT[2-\sqrt{2}]$

(B)     $P\propto T^3\Rightarrow P{T}^{-3}=$ constant

            $P{V}^{\gamma }=$ const

           $P{\left(\frac{nRT}{P}\right)}^{\gamma }=$ const

           $P^{1-\gamma }{T}^{\gamma }=$ const $\Rightarrow P{T}^{\frac{\gamma }{1-\gamma }}=$ const

            $\frac{\gamma }{1-\gamma }=-3$

             $\gamma =-3+3\gamma \Rightarrow \gamma =\frac{3}{2}$

(A)    For $P{V}^x=$ constant

         $W=\frac{nR∆T}{1-x}$

          Here $x=\frac{3}{2}$

          $\therefore$      $W=\frac{P_2{V}_2-P_1{V}_1}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

          $=2(P_1{V}_1-P_2{V}_2)$

(D)    $Q=P∆V+n{C}_V∆T$

               $=P∆V+n\frac{R}{(\gamma -1)}∆T=P∆V+\frac{P∆V}{\gamma -1}$

               $=P∆V(1+\frac{1}{\gamma -1})$

                $=200(1+\frac{1}{0.4})$

                $200\times 3.5=700$ $J$