(4)     

           $\frac{dW}{dt}=P\Rightarrow \mathrm{dW}=Pdt$

            $F·ds=Pdt$

           $mdv\frac{ds}{dt}=Pdt$

          ${\int }_0^{v}vdv=\frac{P}{m}{\int }_0^{t}dt\Rightarrow \frac{v^2}{2}=\frac{Pt}{m}$

           Hence,  $v\propto \sqrt{t}\Rightarrow \frac{ds}{dt}=C\sqrt{t},$$C$ is a constant

           ${\int }_0^{s}ds=C{\int }_0^t{t}^{1/2}dt$

          $s=C\frac{2}{3}{t}^{3/2}\Rightarrow s\propto t^{3/2}$

       $\therefore$    displacement of proportional to ${\left(t\right)}^{3/2}$

(4)     

          $\overrightarrow{F}=(6t\hat{i}+6t^2\hat{j})N$

          $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=(6t\hat{i}+6t^2\hat{j})$

          $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}=(3t\hat{i}+3t^2\hat{j})$

          $\overrightarrow{v}={\int }_0^t\overrightarrow{a}dt=\frac{3t^2}{2}\hat{i}+t^3\hat{j}$

         $P=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{v}=(9t^3+6t^5)W$

(2)

$\overrightarrow{F}=(2\hat{i}+3\hat{j})\mathrm{N}$; displacement $\overrightarrow{S}=(3\hat{i}+6\hat{j})\mathrm{m}$

Acceleration, $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}=\left(\frac{2\hat{i}+3\hat{j}}{4}\right)\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$

                              $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{u}t+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}{t}^2$

$\Rightarrow 3\hat{i}+6\hat{j}=4\overrightarrow{u}+\frac{1}{2}\left(\frac{2\hat{i}+3\hat{j}}{4}\right)·16=4\overrightarrow{u}+4\hat{i}+6\hat{j}$

or $\overrightarrow{u}=\frac{1}{4}(3\hat{i}+6\hat{j}–4\hat{i}–6\hat{j}) \Rightarrow \overrightarrow{u}=–\frac{1}{4}\hat{i}$

Average Power $<P>=\overrightarrow{F}·\frac{\overrightarrow{S}}{t}$

                                                $=\frac{(2\hat{i}+3\hat{j})·(3\hat{i}+6\hat{j})}{4}\mathrm{watt}=6\mathrm{watt}$

                                  $\overrightarrow{v}$ $\mathrm{at} t=4\sec = (\frac{1}{2}\hat{i}+\frac{3}{4}\hat{j})\times 4=(2\hat{i}+3\hat{j})$

                                      $P_{\mathrm{ins}}=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{v}=(2\hat{i}+3\hat{j})(2\hat{i}+3\hat{j})=13 \mathrm{W}$

$\Rightarrow \frac{<P>}{P_{\mathrm{ins}}}=\frac{6}{13}$

(4)

Power = $\overrightarrow{F}·\overrightarrow{v} \mathrm{and} F=\frac{dp}{dt}=\mathrm{Rate} \mathrm{of} \mathrm{change} \mathrm{of} \mathrm{linear} \mathrm{momentum}$

              $F=v·\frac{dm}{dt}=K{v}^{3/2}, K \mathrm{is} \mathrm{constant}$

Power $\left(P\right)={\left(Kv\right)}^{3/2}·\left(v\right)=K{v}^{5/2}$

So, $P^2\propto v^5$

(4)

m = 1000 gram = 1 kg

$\overrightarrow{F}=(2t\hat{i}+3t^2\hat{j})$

$\frac{dv}{dt}=\frac{F}{m}=(2t\hat{i}+3t^2\hat{j})$

$\Rightarrow {\int }_0^{v}dv={\int }_0^t(2t\hat{i}+3t^2\hat{j})dt$

$\Rightarrow \overrightarrow{v}=t^2\hat{i}+t^3\hat{j}$

Power, $P=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{v}$

$P=(2t\hat{i}+3t^2\hat{j})·(t^2\hat{i}+t^3\hat{j})$

$P=(2t^3+3t^5)\mathrm{W}$