Q 1 :    

If the Solution y = y(x) of the differential equation (x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2)dy - (2x2 + 2x + 3) dx = 0 satisfies y(-1) = - π4, then y(0) is equal          [2024]

  • π4

     

  • π2

     

  • - π12

     

  • 0

     

(1)

(x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2)dy - (2x2 + 2x + 3)dx = 0

dydx = 2x2 + 2x + 3x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2

 dy =  (2x2 + 2x + 3x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2) dx

 dy = 2x2 + 2x + 3(x2 + 1)(x2 + 2x + 2) dx

 dy = 1x2 + 1 dx + 1(x + 1)2 + 1 dx

  y = tan-1(x) + tan-1(1 + x) + C        ... (i)

Now, y(-1) = -π4

From (i), we get -π4 = tan-1(-1) + tan-1(1 - 1) + C

  -π4 = - π4 + C  C = 0

So, y(x) = tan-1(x) + tan-1(1 + x)

Now, y(0) = tan-1(0) + tan-1(1 + 0) = π4.

 



Q 2 :    

Let y = y(x) be the solution of the differential equation (x2 + 4)2dy + (2x3y + 8xy - 2)dx = 0. If y(0) = 0, then y(2) is equal to        [2024]

  • 2π

     

  • π16

     

  • π8

     

  • π32

     

(4)

We Have, (x2 + 4)2dy + (2x3y + 8xy - 2)dx = 0

  dydx + y(2x3 + 8x)(x2 + 4)2 = 2(x2 + 4)2

  dydx + 2xyx2 + 4 = 2(x2 + 4)2

IF = e2xx2 + 4 dx = eloge (x2 + 4) = x2 + 4

Solution is y(x2 + 4) = 2(x2 + 4)2 × (x2 + 4) dx + C

  y(x2 + 4) = 2x2+ 4 dx + C

  y(x2 + 4) = 2 × 12 tan-1(x2) + C

  y(x2 + 4) = tan-1(x2) + C                   ... (i)

Now. We have y(0) = 0

  0·(0 + 4) = tan-1(0) + C      C = 0

   y(x2 + 4) = tan-1x2

So, at x = 2

y(4 + 4) = tan-1 (22)      y = 18 × tan-1 1 = 18 × π4

  y = π32

 



Q 3 :    

If y = y(x) is the solution of the differential equation dydx + 2y = sin (2x), y(0) = 34 then y (π8) is equal to          [2024]

  • e- π4

     

  • eπ4

     

  • eπ8

     

  • e- π8

(1)

dydx + 2y = sin 2xy(0) = 34

IF = e2dx = e2x

General solution of given differential equation is,

y × e2x = e2x sin 2x dx

  ye2x = e2x8 (2 sin 2x - 2 cos 2x) + c       [  eax sin bx dx = eaxa2 + b2 (a sin bx - b cos bx) + c]

  ye2x = e2x4 (sin 2x - cos 2x) + c

Now, y(0) = 34

  34 = 14 (-1) + c    c = 34 + 14 = 1

  y(π8) = 14 (12 - 12) + 1eπ/4 = e-π/4



Q 4 :    

Let y = y(x) be the solution of the differential equation (1 + x2) dydx + y = etan-1x, y(1) = 0. Then y(0) is

  • 12(eπ/2 - 1)

     

  • 12(1 - eπ/2)

     

  • 14(eπ/2 - 1)

     

  • 14(1 - eπ/2)

     

(2)

We Have, (1 + x2) dydx + y = etan-1x

  dydx + y1 + x2 = etan-1 x1 + x2

IF = e11 + x2 dx = etan-1 x

  yetan-1 x = etan-1 x1 + x2·etan-1 x dx + c

Let tan-1 x = t

  11 + x2 dx = dt      yet = e2t dt + c

  yet = e2t2 + c      yetan-1 x = e2 tan-1 x2 + c

Since y(1) = 0

  0eπ/4 = eπ/22 + c      c = -eπ/22

  y = etan-1 x2 - eπ/22etan-1 x

  y(0) = 12 - eπ/22 = 1 - eπ/22



Q 5 :    

Let y = y(x) be the solution of the differential equation (2x loge x) dydx + 2y = 3x loge x, x > 0 and y(e-1) = 0. Then y(e) is equal to                 [2024]

  • - 32e

     

  • - 2e

     

  • - 3e

     

  • - 23e

     

(3)

We Have,  dydx + 2y2x loge x = 3 loge xx (2x loge x)

  dydx + yx loge x = 32x2

IF = e1x loge x dx = elog (loge x) = loge x

  y loge x = 32x2 loge x dx

= 32 loge xx-2 dx - (32xx-2 dx) dx

= 32 loge x (-1x) + 32x2 dx + c = -3 loge x2x + (-32x) + c

Now, y(e-1) = 0

  0 = 3e2 - 3e2 + c    c = 0

  y loge x = -3 loge x2x - 32x     y = -32x - 32x loge x

 y(e) = -32e - 32e = -3e

 



Q 6 :    

Suppose the solution of the differential equation dydx = (2 + α)x - βy + 2βx - 2αy - (βγ - 4α) represents a circle passing through origin. Then the radius of this circle is:        [2024]

  • 2

     

  • 12

     

  • 17

     

  • 172

     

(4)

We have, dydx = (2 + α)x - βy + 2βx - 2αy - (βγ - 4α)

  βxdy - 2αydy - (βγ - 4α) dy = 2xdx + αxdx - βydx + 2dx

On integrating, we get

βxdy + βydx - αy2 - (βγ - 4α) y = x2 + αx22 + 2x + c

βxy - αy2 - (βγ - 4α) y = x2(1 + α2) + 2x + c

  (1 + α2) x2 + αy2 - βxy + 2x + (βγ - 4α) y + c = 0

Since, it represents a circle which is passing through origin, then

1 + α2 = α, β = 0  and  c = 0            [  coeff. of x2 = coeff. of y2coeff. of xy = 0          ]

  α = 2

Equation of circle is given by

2x2 + 2y2 + 2x - 8y = 0      x2 + y2 + x - 4y = 0

  Centre  (- 12, 2)

  Radius = (12)2 + (2)2 - 0 = 172



Q 7 :    

Let y = y(x) be the solution of the differential equation (1 + y2) etan xdx + cos2 x(1 + e2 tan x) dy = 0 , y(0) = 1. Then y(π4) is equal to             [2024]

  • 2e

     

  • 1e2

     

  • 2e2

     

  • 1e

     

(4)

We Have, (1 + y2) etan xdx + cos2 x(1 + e2 tan x) dy = 0 

   etan xcos2 x (1 + e2 tan x) dx + 11 + y2 dy = 0

Integrating both sides, we get

sec2 xetan x1 + e2 tan x dx + dy1 + y2 = C

Put etan x = t    sec2 xetan xdx = dt

   tan-1(t) + tan-1y = C       tan-1(etan x) + tan-1y = C

Since, y(0) = 1

  π4 + π4 = C      C = π2

So, tan-1 (etan x) + tan-1 y = π2

For x = π4, we have

tan-1 y = π2 - tan-1 e

  tan-1 y = cot-1 e  tan-1 y = tan-1 1e  y = 1e

 



Q 8 :    

Let y = y(x) be the solution curve of the differential equation sec y dydx + 2x sin y = x3 cos y, y(1) = 0. Then y(3) is equal to:            [2024]

  • π6

     

  • π3

     

  • π4

     

  • π12

     

(3)

We have, sec y dydx + 2x sin y = x3 cos y

  sec2 y dydx + 2x tan y = x3               ... (i)

Let z = tan y    dzdx = sec2 y dydx

  From (i), dzdx + 2xz = x3

IF = e2xdx = ex2    z·ex2 = ex2·x3dx + c

  tan y·ex2 = 12(x2ex2 - ex2) + c

Since, y(1) = 0

  tan (0) · e = 12 (1·e - e) + c  c = 0

So, tan yex2 = 12 (x2ex2 - ex2)

  tan y = x2 - 12    y = tan-1 (x2 - 12)

  y(3) = tan-1 ((3)2 - 12) = tan-1(1) = π4

 



Q 9 :    

The Solution curve of the differential equation 2y = dydx + 3 = 5 dydx, passing through the point (0, 1) is a conic, whose vertex lies on the line:           [2024]

  • 2x + 3y = –6

     

  • 2x + 3y = 6

     

  • 2x + 3y = –9

     

  • 2x + 3y = 9

     

(4)

We have, 2y dydx + 3 = 5 dydx

  2ydy + 3dx = 5dy

Integrating both sides, we get

y2 + 3x = 5y + c

Now, at point (0, 1) i.e., at x = 0, y = 1, we have

1 + 0 = 5 + c c = –4

So, y2 - 5y = -3x - 4

  y2 - 5y + 254 - 254 = -3x - 4

  (y - 52)2 = -3x + 94  (y - 52)2 = -3(x - 34)

Vertex = (34, 52), Which satisfies by 2x + 3y = 9.



Q 10 :    

The Solution of the differential equation (x2 + y2) dx - 5xydy = 0, y(1) = 0, is:         [2024]

  • |x2 - 2y2|5 = x2

     

  • |x2 - 2y2|6 = x

     

  • |x2 - 4y2|5 = x2

     

  • |x2 - 4y2|6 = x

     

(3)

We have, (x2 + y2) dx - 5xydy = 0

dydx = x2 + y25xy

Let y = vx  dydx = v + x dvdx

  v + x dydx = 1 + v25v  x dvdx = 1 + v25v - v

  5vdv1 - 4v2 = dxx  188 × 5vdv1 - 4v2 = dxx

  -58 ln |1 - 4v2| = ln |x| + ln c

  58 ln |x2 - 4y2|x2 + ln |x| + ln c = 0

  |x2 - 4y2x2|5/8 |x| = k

  |x2 - 4y2|5/8|x|14 = k            y(1) = 0  k = 1

  |x2 - 4y2|5/8 = |x|14  |x2 - 4y2|5 = x2