(4)

Ans.   -7000

Explanation:

$\left|AB\right|$$=$$\left|A\right|$$\left|B\right|$$=(400-500)(150-80)$

         $=(-100)\left(70\right)=-7000$

(3)

Ans.    100

Explanation:

Given:             $A(adjA)=10I$

We know that,  $A.adjA=\left|A\right|.I$

$\therefore$                            $\left|A\right|=10$

$\because$                   $|adjA|=|A{|}^{ n-1}$

$\therefore$                   $|adjA|$$=|A{|}^{3-1}={10}^2=100$

(4)

Ans.     216

Explanation:

Given:                $\left|A\right|$$=8$

We know that,  $\left|kA\right|$$=k^n$$\left|A\right|$$,$ where $k$ is a constant 

$\therefore$                    $\left|3A\right|$$=3^3$$\left|A\right|$$=27\times 8=216$

(2)

Ans.    0

Explanation:

Since, A is a skew-symmetric matrix,

$\therefore$                  $A^T=-A$

$\Rightarrow$              $\left|A^T\right|$$=$$|-A|$

Since $\left|A^T\right|$$=$$\left|A\right|$ and for a $3\times 3$ matrix,

$|-A|$$={(-1)}^3$$\left|A\right|$$,$

we get  $\left|A\right|$$={(-1)}^3$$\left|A\right|$

Hence, $\left|A\right|$$=-$$\left|A\right|$$,$

$\Rightarrow$    $2$$\left|A\right|$$=0$

$\Rightarrow$       $\left|A\right|$$=0$

(4)

Ans.   $\mathbf{\pm }\mathbf{6}$

Explanation:

$\because$            $\left|\begin{array}{cc}x& 2\\ 18& x\end{array}\right|$$=$$\left|\begin{array}{cc}6& 2\\ 18& 6\end{array}\right|$

$\Rightarrow$           $x^2-36=36-36$

$\Rightarrow$           $x^2-36=0$

$\Rightarrow$                      $x=\pm 6$

(1)

Ans.     Independent of $\theta$ only

Explanation:

Let   $\Delta =$$\left|\begin{array}{ccc}x& \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x& 1\\ \cos \theta & 1& x\end{array}\right|$

          $=x(-x^2-1)-\sin \theta (-x\sin \theta -\cos \theta )+\cos \theta (-\sin \theta +x\cos \theta )$

         $=-x^3-x+x{\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta -\sin \theta \cos \theta +x{\cos }^2\theta$

         $=-x^3-x+x({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )$

         $=-x^3-x+x$                       $[\because {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1]$

         $=-x^3,$  which is independent of $\theta$.

(1)

Ans.    $-80$

Explanation:

$\Delta =a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}$

   $=a_{11}{M}_{11}-a_{12}{M}_{12}+a_{13}{M}_{13}$

   $=1(-40)-3(-10)+(-2)\left(35\right)$

   $=-40+30-70$$=-80$

(3)

Ans.   ${\mathit{k}}^{\mathbf{3}}$$\mathbf{\left|}\mathit{A}\mathbf{\right|}$

Explanation:

We know that for $n\times n$ matrix,

                 $\left|\right(\lambda A\left)\right|$$={\lambda }^n\left|A\right|$

Hence,        $\left|kA\right|$$=k^3$$\left|A\right|$

(3)

Ans.    Determinant is a number associated to a square matrix.

Explanation:

We know that to every square matrix, $A=\left[a_{ij}\right]$ of order $n$, we can associate a number called the determinant of the square matrix A, where $a_{ij}$$={(i,j)}^{\text{th}}$ element of A. Thus, the determinant is a number associated to a square matrix.

(3)

Ans.    $\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}$

Explanation:

                      $\Delta =$$\left|\begin{array}{cc}\cos 15°& \sin 15°\\ \sin 15°& \cos 15°\end{array}\right|$

                          $={\cos }^{2}15°-{\sin }^{2}15°$

                          $=\cos (2\times 15°)=\cos 30°$

                          $=\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3)

Ans.     A

Explanation:

                        $A^2=I$

then              $A·A=I$

or       $A^{-1}(A·A)=A^{-1}I$

$\Rightarrow$   $\left(A^{-1}A\right)A=A^{-1}$

$\Rightarrow$                $IA=A^{-1}$

$\Rightarrow$            $A^{-1}=A$

(3)

Ans.     $\mathbf{-}\mathbf{1}$

Explanation:

Given,          $\left|\begin{array}{ccc}1+a& 1& 1\\ 1& 1+b& 1\\ 1& 1& 1+c\end{array}\right|$$=0$

Expanding the determinant,

$(1+a)\left[\right(1+b\left)\right(1+c)-1]-1(1+c-b)+1(1-1-b)=0$

                                                 $(1+a)(b+c+bc)-c-b=0$

                                  $b+c+bc+ab+ac+abc-b-c=0$

                                                                          $ab+bc+ca=-abc$

Dividing both sides by $abc$,

          $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=-1$