The sum of all the roots of the equation $|x^2-8x+15|-2x+7=0$ is

(a) $11+\sqrt{3}$                          (b) $11-\sqrt{3}$                        (c) $9+\sqrt{3}$                          (d) $9-\sqrt{3}$

If the orthocentre of the triangle, whose vertices are (1, 2), (2, 3) and (3, 1) is $(\alpha ,\beta )$, then the quadratic equation whose roots are $\alpha +4\beta$ and $4\alpha +\beta$, is

(a) $x^2-19x+90=0$                          (b) $x^2-20x+99=0$

(c) $x^2-18x+80=0$                          (d) $x^2-22x+120=0$

Let $p,q\in R$ and ${(1-\sqrt{3}i)}^{200}=2^{199}(p+iq),i=\sqrt{-1}.$ The $p+q+q^2$ and $p-q+q^2$ are roots of the equation

(a) $x^2-4x+1=0$                                (b) $x^2+4x+1=0$

(c) $x^2-4x-1=0$                                (d) $x^2+4x-1=0$

Let $\lambda \ne 0$ be a real number. Let $\alpha ,\beta$ be the roots of the equation $14x^2-31x+3\lambda =0$ and $\alpha ,\gamma$ be the roots of the equation $35x^2-53x+4\lambda =0.$

Then $\frac{3\alpha }{\beta }$ and $\frac{4\alpha }{\gamma }$ are the roots of the equation

(a) $7x^2+245x-250=0$                         (b) $49x^2+245x+250=0$

(c) $49x^2-245x+250=0$                        (d) $7x^2-245x+250=0$

Let $a\in R$ and let $\alpha ,\beta$ be the roots of the equation $x^2+{60}^{\frac{1}{4}}x+a=0.$

If ${\alpha }^4+{\beta }^4=-30,$ then the product of all possible values of a is __________ .

(a) 45                 (b) 30                 (c) 50               (d) 78

Let ${\alpha }_1,{\alpha }_2, ............,{\alpha }_7$ be the roots of the equation $x^7+3x^5-13x^3-15x=0$ and $\left|{\alpha }_1\right|\ge \left|{\alpha }_2\right|\ge ......\ge \left|{\alpha }_7\right|.$

Then ${\alpha }_1{\alpha }_2-{\alpha }_3{\alpha }_4+{\alpha }_5{\alpha }_6$ is equal to _________ .

If the value of real number a > 0 for which $x^2-5ax+1=0$ and $x^2-ax-5=0$ have a common real root is $\frac{3}{\sqrt{2\beta }}$ then $\beta$ is equal to ____________ .

Let $\alpha ,\beta ,\gamma$ be the three roots of the equation $x^3+bx+c=0.$ If $\beta \gamma =1=-\alpha ,$ then $b^3+2c^3-3{\alpha }^3-6{\beta }^3-8{\gamma }^3$ is equal to

(a) $21$                              (b) $\frac{169}{8}$                            (c) $\frac{155}{8}$                         (d) $19$

Let $\alpha ,\beta$ be the roots of the quadratic equation $x^2+\sqrt{6}x+3=0.$ Then $\frac{{\alpha }^{23}+{\beta }^{23}+{\alpha }^{14}+{\beta }^{14}}{{\alpha }^{15}+{\beta }^{15}+{\alpha }^{10}+{\beta }^{10}}$ is equal to

(a) 729                           (b) 9                        (c) 81                         (d) 72

Let $\alpha ,\beta$ be the roots of the equation $x^2-\sqrt{2}x+2=0.$ Then ${\alpha }^{14}+{\beta }^{14}$ is equal to

(a) $-64\sqrt{2}$                          (b) $-128$                           (c) $-128\sqrt{2}$                           (d) $-64$

Let $S=\{x:x\in \mathit{R}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}^{x^2-4}+{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^{x^2-4}=10\}$. Then $n\left(S\right)$ is equal to

(a) 2                                (b) 4                              (c) 0                             (d) 6

The number of real solutions of the equation $3(x^2+\frac{1}{x^2})-2(x+\frac{1}{x})+5=0,$ is

(a) 4                               (b) 3                              (c) 2                               (d) 0

The number of real roots of the equation $\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{x^2-9}=\sqrt{4x^2-14x+6},$ is

(a) 2                                  (b) 3                               (c) 1                                (d) 0

The equation $e^{4x}+8e^{3x}+13e^{2x}-8e^x+1=0,x\in \mathit{R}$ has

(a) four solutions two of which are negative

(b) two solutions and both are negative

(c) no solution

(d) two solutions and only one of them is negative

If a and b are the roots of the equation $x^2-7x-1=0,$ then the value of $\frac{a^{21}+b^{21}+a^{17}+b^{17}}{a^{19}+b^{19}}$ is equal to ________ .

The number of points, where the curve $f\left(x\right)=e^{8x}-e^{6x}-3e^{4x}-e^{2x}+1,x\in \mathrm{ℝ}$ cuts x-axis, is equal to ________ .

The set of all $a\in \mathrm{ℝ}$ for which the equation $x|x-1|+|x+2|+a=0$ has exactly one real root, is

(a) $(-\infty ,\infty )$                    (b) $(-6,\infty )$                     (c) $(-\infty ,-3)$                      (d) $(-6,-3)$

The number of real roots of the equation $x\left|x\right|-5|x+2|+6=0$, is

(a) 5                              (b) 3                              (c) 4                              (d) 6

The number of integral values of k, for which one root of the equation $2x^2-8x+k=0$ lies in the 

interval (1, 2) and its other root lies in the interval (2, 3), is

(a) 2                             (b) 0                             (c) 1                          (d) 3

Let $m$ and $n$ be the numbers of real roots of the quadratic equations $x^2-12x+\left[x\right]+31=0$ and $x^2-5|x+2|-4=0$ respectively, where [x] denotes the greatest integer $\le x.$ Then $m^2+mn+n^2$ is equal to __________ .

Let $S=\{\alpha :{\log }_2(9^{2\alpha -4}+13)-{\log }_2(\frac{5}{3}·3^{2\alpha -4}+1)=2\}.$ Then the maximum value of $\beta$ for which the equation 

$x^2-2{\left(\sum _{\alpha \in S}\alpha \right)}^{2}x+\sum _{\alpha \in S}{(\alpha +1)}^2\beta =0$ has real roots, is _________ .